Zur Linearisierung der Gleichungen im Gauß-Helmert-Modell

Daniel Willi, Sébastien Guillaume, Alain Geiger

Die Methode der Ausgleichung nach kleinsten Quadraten dürfte seit 1795, spätestens aber seit 1809 bekannt sein. Weniger bekannt ist die Tatsache, dass bei nichtlinearen Gleichungen Iterationen auch über die Beobachtungen nötig sein können, zusätzlich zu den Iterationen über die Parameter. Zu diesem Zweck werden Näherungswerte für die Verbesserungen eingeführt und die Iterationsvorschrift wird angepasst. Dieser Beitrag zeigt, nach den theoretischen Herleitungen, anhand von zwei numerischen Beispielen, welche Vor- und Nachteile sich bei Iterationen über die Beobachtungen ergeben. Bei einer Ausgleichung eines Kreises zeigt sich beispielhaft, dass die Lösung nach den kleinsten Quadraten nur bei der strengen Variante mit der gleichzeitigen Iteration über die Beobachtungen erreicht wird. Wird der Kreis noch mit einer zusätzlichen Tangentenbedingung versehen, offenbart bereits die grafische Überprüfung der ausgeglichenen Beobachtungen die Linearisierungsprobleme. In beiden Beispielen konvergiert die strenge Ausgleichung, sie benötigt aber eine größere Anzahl Iterationsschritte bis zur korrekten Lösung.

Schlüsselwörter: Ausgleichsrechnung, Linearisierung, Gauß-Helmert-Modell, kleinste Quadrate, Parameterschätzung, Adjustment theory, linearisation, Gauss-Helmert model, least squares, parameter estimation
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